Ejercicios resueltos de Cinemática

M.U.R y M.R.U.V 

1. Un automóvil parte del reposo y se mueve con aceleración constante de 4 m/s², y viaja durante 4 s. Durante los próximos 10 s se mueve con movimiento uniforme. Se aplican los frenos y el automóvil desacelerar a razón de 8 m/s² hasta que se detiene.

• Calcular el desplazamiento del móvil en cada intervalo y el desplazamiento total.
• Hacer un gráfico de la velocidad en función del tiempo.
• Mostrar que el área comprendida entre la curva y el eje del tiempo mide el desplazamiento total del automóvil.

Solución:

De t=0 a t=4.

$a=4v=4tx=\frac{1}{2}4t^2$

Para t=4 s, v=16 m/s, x=32 m

De 4 s a 14 s

$a=0v=16x=32+16(t-4)$

Para t=14 s, v=16 m/s, x=192 m

De 14s hasta que se para

$a=-8v=16+(-8)(t-14)x=192+16(t-14)+\frac{1}{2}(-8){\left(t-14\right)}^2$

Se detiene v=0, en el instante t=16 s, la posición del móvil es x=208 m

Gráfica

Área bajo la curva v-t

$\frac{4\cdot 16}{2}+10\cdot 16+\frac{2\cdot 16}{2}=208$

2. Un automóvil que está parado, arranca con una aceleración de 1.5 m/s². En ese mismo instante es adelantado por un camión que lleva una velocidad constante de 15 m/s. Calcular la posición de encuentro de ambos vehículos

Solución:

Escribimos las ecuaciones del movimiento de cada uno de los vehículos

$x_1=15t{x}_2=\frac{1}{2}1.5t^2$

La posición de encuentro x₁=x₂ da lugar a la ecuación de segundo grado

0.75t²-15t=0

cuyas soluciones son t=0, y t=20.

El instante de encuentro es  t_e=20s, y la posición de encuentro x_e=300 m medida desde la salida.

Solución gráfica

• Si trazamos x₁en función del tiempo t, obtenemos la línea recta de color azul.
• Si trazamos x₂ en función del tiempo t, obtenemos la curva de color rojo (una parábola)

El punto de intersección señala el instante t_e de encuentro y la posición x_e de encuentro.

3. Dos coches A y B se mueven a la misma velocidad constante de 20 m/s. El coche A 10 m detrás del B. El coche B frena disminuyendo su velocidad a razón de 2 m/s². Dos segundos más tarde el conductor del coche A se da cuenta del posible choque y pisa el freno, disminuyendo su velocidad a razón de a m/s². Determinar el valor de la mínima aceleración a para evitar el choque.

Solución:

El instante t=0 cuando B pisa el freno, el coche B se encuentra en la posición inicial x₀=10 m y su velocidad inicial es v₀=20 m/s . El coche A se encuentra en la posición inicial x₀=0, y su velocidad es 20 m/s (véase la figura)

En el instante t=2, cuando A pisa el freno, el coche A se encuentra en la posición x=20·2=40 m

El coche B se encuentra en la posición

$x_B=10+20\cdot 2+\frac{1}{2}(-2)2^2=46\text{m}$

Su velocidad es v_B=20+(-2)·2=16 m/s

Para evitar el choque, la velocidad de los vehículos sería la misma cuando se encuentren en la misma posición.

La posición y velocidad de A es

$\begin{array}{c}{x}_A=40+20\cdot t+\frac{1}{2}(-a)t^2\\ v_A=20+(-a)t\end{array}$

La posición y velocidad de B es

$\begin{array}{c}{x}_B=46+16\cdot t+\frac{1}{2}(-2)t^2\\ v_B=16+(-2)t\end{array}$

La mínima aceleración a se obtiene igualando, las velocidades y las posiciones

$\begin{array}{c}46+16\cdot t+\frac{1}{2}(-2)t^2=40+20\cdot t+\frac{1}{2}(-a)t^2\\ 16+(-2)t=20+(-a)t\end{array}$

La solución es t=3 s y a= 10/3 m/s². Tardan tres segundos desde que A pisa el freno en alcanzar la misma velocidad 10 m/s en la posición x=85 m

CAÍDA LIBRE 

1. Se lanza un cuerpo hacia arriba, en dirección vertical, con velocidad inicial de 98 m/s desde el techo de un edificio de 100 m de altura. Tomar g=9.8 m/s². Hallar:

• La máxima altura que alcanza el cuerpo medida desde el suelo
• El tiempo que transcurre hasta que llega al suelo.
• La velocidad al llegar al suelo

Solución:

Primero se dibuja el eje X, se establece el origen en el suelo y se dibujan los vectores velocidad inicial y aceleración de la gravedad.

Ecuaciones del movimiento

a=-9.8
v=98+(-9.8)t
x=100+98·t+½(-9.8)t²

Máxima altura que alcanza, v=0, t=10 s,x=590 m

Tiempo que tarda en llegar al suelo x=0, t=20.97 s v=-107.54 m/s

2. Un hombre situado en el techo de un edificio tira una bola verticalmente hacia arriba con velocidad de 12.2 m/s. La bola llega al suelo 4.25 s más tarde. Tomar g=9.8 m/s²

• ¿Qué altura tiene el edificio?
• La velocidad al llegar al suelo
• La máxima altura que alcanza el cuerpo medida desde el suelo.

Solución:

Primero se dibuja el eje X, se establece el origen en el suelo y se dibujan los vectores velocidad inicial y aceleración de la gravedad.

Ecuaciones del movimiento

a=-9.8
v=12.2+(-9.8)t
x=h+12.2·t+½(-9.8)t²

Tiempo que tarda en llegar al suelo x=0, t=4.25 s h=36.65 m

Velocidad con la que llega al suelo: v=-29.45 m/s

Máxima altura: v=0, t=1.24 s, x=44.25 m

3. Una persona ve un objeto ascender hacia arriba a través de una ventana de 2 m de altura. Con un cronómetro mide que tarda un tiempo de 0.5 s en desaparecer de su vista. Calcular la velocidad v₀ del objeto en la parte inferior de la ventana y la altura h a la que asciende por encima de la ventana, tal como se muestra en la figura.

Solución:

Las ecuaciones del movimiento son

$\begin{array}{c}x=v_{0}t+\frac{1}{2}\left(-g\right)t^2\\ v=v_0+\left(-g\right)t\end{array}$

Cuando el móvil llega a la parte superior de la ventana, se ha desplazado x=2 m en t₁=0.5 s, y su velocidad es v₁

$\begin{array}{c}2=v_0\cdot 0.5-4.9\cdot {0.5}^2\\ v_1=v_0-9.8\cdot 0.5\end{array}$

Despejamos de la primera v₀=6.45 m/s, y de la segunda v₁=1.55 m/s

Cuando alcanza la máxima altura

$\begin{array}{c}h=v_1{t}_2-4.9t_2^2\\ 0=v_1-9.8t_2\end{array}$

La solución es t₂=0.158 s, h=0.1226 m

MOVIMIENTO CURVILÍNEO

1. Nos encontramos en la antigua Suiza, donde Guillermo Tell va a intentar ensartar con una flecha una manzana dispuesta en la cabeza de su hijo a cierta distancia d del punto de disparo (la manzana está 5 m por debajo del punto de lanzamiento de la flecha). La flecha sale con una velocidad inicial de 50 m/s haciendo una inclinación de 30º con la horizontal y el viento produce una aceleración horizontal opuesta a su velocidad de 2 m/s².

• Calcular la distancia horizontal d a la que deberá estar el hijo para que pueda ensartar la manzana.
• Hállese la altura máxima que alcanza la flecha medida desde el punto de lanzamiento. (g=9.8 m/s²)

Solución: 

Ecuaciones del movimiento
$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_x=\mathrm{-2}\\ a_y=-9.8\end{array}\{\begin{array}{c}{v}_x=50\cos 30+(-2)t\\ v_y=50\sin 30+(-9.8)t\end{array}\{\begin{array}{c}x=50\cos 30\cdot t+\frac{1}{2}(-2)t^2\\ y=50\sin 30t+\frac{1}{2}(-9.8)t^2\end{array}\end{array}$
Punto de impacto, x=d, y=-5 m
-5=25t-4.9t2
t=5.29 s, x=201.23 m
Máxima altura, vy=0, 25-9.8t=0
t=2.55 s, y=31.89 m

2. Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo con la ley ax=0, ay=4cos(2t) m/s2. En el instante t=0, el móvil se encontraba en x=0, y=-1 m, y tenía la velocidad vx=2, vy=0 m/s.
Hallar las expresiones de $\overrightarrow{r}\left(t\right)$ y $\overrightarrow{v}\left(t\right)$.
Dibujar y calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=π/6 s.
Solución:

Movimiento uniforme a lo largo del eje X
vx=2, x=2·t
Movimiento a lo largo del eje Y
$\begin{array}{c}{v}_y-0=\underset{0}{\overset{t}{\int }}4\cos \left(2t\right)dt{v}_y=2\sin \left(2t\right)\text{m/s}\\ y-(-1)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}2\sin \left(2t\right)dty=-\cos \left(2t\right)\text{m}\end{array}$

Aceleración tangencial y normal
$t=\frac{\pi }{6}\{\begin{array}{c}{v}_x=2\\ v_y=\sqrt{3}\end{array}\{\begin{array}{c}{a}_x=0\\ a_y=2\end{array}$
$\theta =\arctan \frac{v_x}{v_y}=49.1º\{\begin{array}{c}{a}_t=a\cdot \cos \theta =1.31{\text{m/s}}^{\text{2}}\\ a_n=a\cdot \sin \theta =1.51{\text{m/s}}^{\text{2}}\end{array}$

3. Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo a la ley a_x=0, a_y=2cos(πt/2) m/s². En el instante inicial t=0, x=0, y=-8/π², v_x=2, v_y=0. Encontrar:

• El vector posición y el vector velocidad en función del tiempo.
• La ecuación de la trayectoria, representarla
• Representar la aceleración, aceleración tangencial y normal sobre la trayectoria en los instantes t=1 y t=2s.

Solución:

Movimiento uniforme a lo largo del eje X

x=2·t

Movimiento a lo largo del eje Y

$\begin{array}{c}{v}_y-0=\underset{0}{\overset{t}{\int }}2\cos \left(\frac{\pi }{2}t\right)dt{v}_y=\frac{4}{\pi }\sin \left(\frac{\pi }{2}t\right)\\ y-\left(-\frac{8}{{\pi }^2}\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{4}{\pi }\sin \left(\frac{\pi }{2}t\right)dty=-\frac{8}{{\pi }^2}\cos \left(\frac{\pi }{2}t\right)\end{array}$

Ecuación de la trayectoria

Se elimina t de las ecuaciones paramétricas

$y=-\frac{8}{{\pi }^2}\cos \left(\frac{\pi }{4}x\right)$

Componentes de la aceleración

$\begin{array}{c}t=1\{\begin{array}{c}x=2\\ y=0\end{array}\{\begin{array}{c}{v}_x=2\\ v_y=4/\pi \end{array}\{\begin{array}{c}{a}_x=0\\ a_y=0\end{array}\{\begin{array}{c}{a}_t=0\\ a_n=0\end{array}\\ t=2\{\begin{array}{c}x=4\\ y=8/{\pi }^2\end{array}\{\begin{array}{c}{v}_x=2\\ v_y=0\end{array}\{\begin{array}{c}{a}_x=0\\ a_y=-2\end{array}\{\begin{array}{c}{a}_t=0\\ a_n=2\end{array}\end{array}$

MOVIMIENTO CIRCULAR

1.  Una rueda de radio 10 cm está girando con una velocidad angular de 120 r.p.m., se aplican los frenos y se detiene en 4 s. Calcular:

• La aceleración angular (supuesta constante la fuerza de frenado).
• El ángulo girado a los 4 s.

Calcular 1 s. después de aplicar los frenos:

• La velocidad angular, la velocidad (lineal) de un punto de la periferia de la rueda.
• Las componentes tangencial y normal de la aceleración.

Solución: 

ω₀=120 rpm=4Ï€ rad/s

$\begin{array}{c}\omega ={\omega }_0+\alpha t\\ \theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2\end{array}$

ω=0 en el instante t=4 s, α=-π rad/s², θ=8π rad

En el instante t=1 s:

ω=3π rad/s , θ=7π/2 rad

Velocidad lineal, v= ω·r=0.3π m/s

Componentes de la aceleración: tangencial, a_t=α·r=-0.1π m/s², normal a_n=ω²·r=0.9π² m/s²

2. Dos ruedas, en un cierto instante, giran a razón de 120 r.p.m. y 240 r.p.m., siendo sus radios de 20 cm y 40 cm respectivamente. A cada una se le aplica un freno y se detiene la menor en 16 s y la mayor en 8 s, ambas con movimiento uniformemente acelerado.

• ¿En qué instante tienen ambas ruedas la misma velocidad angular?
• ¿En qué instante, un punto de la periferia, tiene la misma velocidad lineal?. Calcula la aceleración tangencial y la aceleración normal en dichos instantes.
• ¿Cuál es el ángulo girado por cada una de las ruedas?

Solución:

Velocidades angulares iniciales

ω₁₀=120 rpm=4π rad/s
ω₂₀=240 rpm=8π rad/s

• Se paran

ω₁= ω₁₀+α₁·t
0=4π+ α₁·16, α₁=- π/4 rad/s²

ω₂= ω₂₀+α₂·t
0=8π+α₂·8, α₂=- π rad/s²

• Ecuaciones del movimiento

ω₁=4π+(- π/4) t

ω₂=8π+(- π) ·t

$\begin{array}{c}{\theta }_1=4\pi t+\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi }{4}\right)t^2\\ {\theta }_2=8\pi t+\frac{1}{2}(-\pi )t^2\end{array}$

• Para que tengan la misma velocidad angular

ω₁= ω₂
4π+(- π/4)·t=8π+(- π)·t, t=16/3 s

• Para que tengan la misma velocidad lineal

v₁=v₂
r₁·ω₁=r₂· ω₂

0.2·(4π+(- π/4)·t)=0.4 ·(8π+(- π)·t), t=48/7 s

En este instante

• aceleraciones tangenciales

a_t1= r₁·α₁=0.2·(- π/4)=-0.157 m/s²
a_t2= r₂·α₂=0.4·(- π)=-1.257 m/s²

• aceleraciones normales

a_n1= r₁·(ω₁)²=10.31m/s²
a_n2= r₂·(ω₂)²=5.15 m/s²

^3. Una partícula describe una trayectoria circular 20 cm de radio. Parte de la posición π/2 rad con velocidad angular inicial de 240 r.p.m. Se le aplica una fuerza que produce una desaceleración constante de π/2 rad/s². Calcular:

• El instante en el que se detiene y su posición angular.
• La posición angular, la velocidad angular, la velocidad (lineal), las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula en el instante t=3 s. Dibujar la trayectoria circular, señalar en ella la posición angular que ocupa la partícula en dicho instante, dibujar el vector velocidad y las componentes de su aceleración.

Solución: 

ω₀=240 rpm=8π rad/s

$\begin{array}{c}\alpha =-\frac{\pi }{2}\\ \omega =8\pi +\left(-\frac{\pi }{2}\right)t\\ \theta =\frac{\pi }{2}+8\pi t+\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi }{2}\right)t^2\end{array}$

El móvil se detiene ω=0 en el instante t=16 s, su posición es θ=129π/2 rad

En el instante t=3 s

$\begin{array}{c}\alpha =-\frac{\pi }{2}{\text{rad/s}}^2\\ a_t=\alpha \cdot r=-0.1\pi {\text{m/s}}^2\\ \omega =8\pi +\left(-\frac{\pi }{2}\right)3=\frac{13\pi }{2}\text{rad/s}\\ v=\omega \cdot r=1.3\pi \text{m/s}\\ a_n={\omega }^2\cdot r=8.45{\pi }^2{\text{m/s}}^2\\ \theta =\frac{\pi }{2}+8\pi \cdot 3+\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi }{2}\right)3^2=\frac{89}{4}\pi =22\pi +\frac{\pi }{4}\text{rad}\end{array}$