Ejercicios de dinámica resueltos

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA 

1. Los vagones A, B, C de la figura tienen masas de 10, 15, y 20 kg respectivamente. Se aplica en C una fuerza F de 50 N. Calcular:

• La aceleración del sistema.
• Las tensiones de las cuerdas que unen los vagones A y B, B y C

Solución:

Dibujamos las fuerzas sobre cada vagón. Omitimos el peso y la reacción del plano horizontal, ya que el sistema está en equilibrio vertical

$\begin{array}{c}{T}_2=10\cdot a\\ T_1-T_2=15\cdot a\\ 50-T_1=20\cdot a\end{array}$

a=10/9 m/s², T₂=100/9 N, T₁=250/9 N

2. Dos pesas de 3 y 2 kg están unidas por una cuerda que pasa a través de una polea (ambas de masa despreciable). Tómese g=10 m/s². Calcular

• La aceleración de los pesos
• La tensión de la cuerda.

Solución:

Si T es la tensión de la cuerda. Las ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos son:

30-T=3a
T-20=2a

a=2 m/s², T=24 N

 

 

 

3. Un bloque de 750 kg es empujado hacia arriba por una pista inclinada 15º respecto de la horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico son 0.4 y 0.3 respectivamente. Determinar la fuerza necesaria,

• para iniciar la subida del bloque por la pista.
• para mantener el bloque en movimiento con velocidad constante, una vez que este se ha iniciado.

(Tómese g=9.8 m/s²)

Solución:

Se descompone la fuerza peso, en la dirección del plano y perpendicularmente al mismo.

Situación de equilibrio, o se mueve con velocidad constante a=0.

F-F_r-750·9.8·sin15=0
N=750·9.8·cos15
F_r=μN

• Cuando va a iniciar el movimiento, μ=0.4, F=4742 N
• Cuando se mueve con velocidad constante, μ=0.3, F=4032 N

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR 

1. Un pequeño bloque de 1 kg de masa está atado a una cuerda de 0.6 m, y gira a 60 r.p.m. describiendo una circunferencia vertical. Calcular la tensión de la cuerda cuando el bloque se encuentra:

• En el punto más alto de su trayectoria.
• En el más bajo de su trayectoria.

Solución:

ω=60 rpm=60·2π/60=2π rad/s

• En el punto más alto de su trayectoria.

T+mg=ma_n
T =mω²R-mg

• En el más bajo de su trayectoria.

T’-mg= ma_n
T’ = mω²R+mg

Con los datos del problema

T=13.9 N, T’=33.5 N

2. Calcular la velocidad mínima que tiene que tener el motorista (considerado como una masa puntual) que trabaja en 'el tubo de la muerte' (aparato de atracción de feria representada en la figura) para que no se caiga. Diámetro del tubo: 10 m. Coeficiente estático de rozamiento entre las ruedas de la motocicleta y la pared: 0.5.

Solución: 

Equilibrio en la dirección vertical, mg=F_r

Dinámica del movimiento circular uniforme, N=mv²/r

Máximo valor de la fuerza de rozamiento F_r=μ_s·N

Velocidad mínima del motorista

$v=\sqrt{\frac{rg}{{\mu }_s}}=\sqrt{98}\text{m/s}$

3. Un juego de un parque de atracciones consta de una plataforma circular de 8 m de diámetro que gira. De la plataforma cuelgan “sillas voladoras” suspendidas de unas cadenas de 2.5 m de longitud. Cuando la plataforma gira las cadenas que sostienen los asientos forman un ángulo de 28º con la vertical.

• ¿Cuál es la velocidad angular de rotación?
• Si la masa del asiento y del niño es de 50 kg. ¿Cuál es la tensión de la cadena?.

Solución:

Sustituimos la tensión T de la cuerda por sus componentes rectangulares

• Equilibrio en la dirección vertical

T·cos28=50·9.8

• Aplicamos la segunda ley de Newton en la dirección horizontal

T·sin28=50·a_n
T·sin28=50·ω²(4+2.5·sin28)

Despejamos T=555 N, y ω=1.0 rad/s

IMPULSO, MOMENTO DE UNA FUERZA Y MOMENTO ANGULAR 

1. Una partícula de masa m=2 kg se mueve a lo largo del eje X, está sometida a una fuerza que varía con el tiempo t tal como se muestra en la figura. Si la velocidad inicial de la partícula en el instante t=0 es de 3 m/s.

• Calcular su velocidad en el instante t=8 s.

Solución:

El impulso (área bajo la curva fuerza-tiempo) es igual al cambio de momento lineal.

$\begin{array}{c}mv-m{v}_0=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}F\cdot dt\\ 2v-2\cdot 3=12\cdot 2-\frac{4\cdot 10}{2}+2\cdot 5=14\\ v=10\text{m/s}\end{array}$

2. Calcular la resultante 

• el momento de cada una las fuerzas respecto del punto O
• el momento total.

Solución: 

$\begin{array}{c}\overrightarrow{F_1}=4\cos 45\cdot \hat{i}+4\sin 45\cdot \hat{j}\\ \overrightarrow{F_2}=-5\sin 30\widehat{\cdot i}-5\cos 30\cdot \hat{j}\\ \overrightarrow{F_3}=-2\cdot \hat{i}\\ \overrightarrow{R}=\left(2\sqrt{2}-\frac{9}{2}\right)\hat{i}+\left(2\sqrt{2}-\frac{5}{2}\sqrt{3}\right)\hat{j}\text{N}\end{array}$

$\begin{array}{c}\overrightarrow{M_1}\{4\cdot 0\}=0\\ \overrightarrow{M_2}\left\{\begin{array}{c}5\cdot \sqrt{13\cdot }\sin (30+33.7)\\ \text{eje Z}\\ (+)\end{array}\right\}=16.2\hat{k}\text{N⋅m}\\ \overrightarrow{M_3}\left\{\begin{array}{c}2.3\\ \text{eje Z}\\ (-)\end{array}\right\}=-6\hat{k}\text{N⋅m}\\ \overrightarrow{M}=\overrightarrow{M_1}+\overrightarrow{M_2}+\overrightarrow{M_3}=10.2\hat{k}\text{N⋅m}\end{array}$

3. Calcular el vector momento angular respecto del origen O de la partícula de 2 kg que se mueve con velocidad de 10 m/s, en la dirección que se muestra en la figura.

Solución:

Módulo del producto vectorial de dos vectores: producto de los módulos por el seno del ángulo comprendido (figura de la izquierda)

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times m\overrightarrow{v}\left\{\begin{array}{c}r\cdot mv\cdot \sin \theta =5\cdot 2\cdot 10\cdot \sin \left(97\right)=99.25\\ \text{ejeZ}\\ (+)\end{array}\right\}=99.25\hat{k}{\text{kg⋅m}}^{\text{2}}\text{/s}$

El módulo del momento angular es igual al producto del momento lineal por brazo del momento lineal (figura de la derecha)

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times m\overrightarrow{v}\left\{\begin{array}{c}mv\cdot d=2\cdot 10\cdot 5\cdot \cos (37-30)=99.25\\ \text{ejeZ}\\ (+)\end{array}\right\}=99.25\hat{k}{\text{kg⋅m}}^{\text{2}}\text{/s}$

TRABAJO 

1. Un cuerpo de 4 kg de masa se mueve hacia arriba en un plano inclinado de 20° con respecto a la horizontal. Sobre el cuerpo actúan las siguientes fuerzas: una fuerza horizontal de 80 N, una fuerza paralela al plano de 100 N favoreciendo el movimiento, una fuerza de fricción de 10 N que se opone al movimiento. El cuerpo se traslada de A a B, 20 m a lo largo del plano inclinado. Calcular:

• El valor de las fuerzas que faltan.
• El trabajo de cada fuerza y el trabajo total.
• La resultante y el trabajo de la resultante.

Solución:

Las fuerzas que faltan son el peso mg=4·10=40 N y la reacción N del plano

Trabajo de cada fuerza y trabajo total cuando el cuerpo se desplaza de A a B

W₁=(100·cos0)·20=2000
W₂=(80·cos20)·20=1503.5
W₃=(40·cos110)·20=(-40·sin20)·20=-273.6
W₄=(10·cos180)·20=-10·20=-200
W₅=(N·cos90)·20=0
W=W₁+W₂+W₃+W₄+W₅=3029.9 J

Descomponemos las fuerzas a lo largo del plano y perpendicularmente al plano inclinado.

Equilibrio en la dirección perpendicular al plano inclinado, N=80·sin20+40·cos20=64.95 N

Fuerza resultante a lo largo del plano inclinado, F=100+80·cos20-40·sin20-10=151.49 N

Trabajo de la resultante F, W=F·20=3029.8 J

El trabajo de varias fuerzas concurrentes es igual al trabajo de la resultante.

2. Hallar la velocidad con que sale una bala después de haber atravesado una tabla de 7 cm de grosor y que opone una resistencia constante de 1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa de 15 g.

Solución: 

El trabajo de la fuerza que actúa sobre la bala es igual a la variación de energía cinética, W=1600·0.07·cos180=-112 J

$W=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$

Sabiendo que v₀=450 m/s y m=0.015 kg, obtenemos la velocidad final de la bala, v=433.1 m/s

Aplicando dinámica, calculamos la aceleración de la bala en el interior de la tabla a=-1600/0.015=-106666.7 m/s²

Utilizando las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado

$\begin{array}{c}v=v_0+at\\ x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2\end{array}$

con x=0.07 y v₀=450 m/s, obtenemos el tiempo t=0.000158 s que tarda la bala en atravesar la tabla y la velocidad final v=433.1 m/s´

3. Sobre una partícula actúa una fuerza 

$\overrightarrow{F}=2x^2\hat{i}+3y^2\hat{j}\text{N}$ . Hallar el trabajo realizado por dicha fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA

Solución:

Trabajo infinitesimal

$\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{dr}=(2x^2\hat{i}+3y^2\hat{j})\cdot (dx\cdot \hat{i}+dy\cdot \hat{j})=2x^{2}dx+3y^{2}dy$

Camino AB

$\begin{array}{c}y=xdy=dx\\ \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{dr}=5x^{2}dx\\ W_{AB}=\underset{A}{\overset{B}{\int }}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{dr}=\underset{0}{\overset{3}{\int }}5x^{2}dx=45\text{J}\end{array}$

Camino BC

$\begin{array}{c}y=3dy=0\\ \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{dr}=2x^{2}dx\\ W_{BC}=\underset{B}{\overset{C}{\int }}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{dr}=\underset{3}{\overset{0}{\int }}2x^{2}dx=-18\text{J}\end{array}$

Camino CA

$\begin{array}{c}x=0dx=0\\ \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{dr}=3y^{2}dy\\ W_{CA}=\underset{C}{\overset{A}{\int }}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{dr}=\underset{3}{\overset{0}{\int }}3y^{2}dy=-27\text{J}\end{array}$

Total

${\oint }^{}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{dr}=45-18-27=0$

TRABAJO Y ENERGÍA 

1. Desde la ventana de un edificio de 15 m de altura se lanza un objeto de masa m = 400 g hacia la calle, utilizando el muelle de constante k=750 N/m, como muestra la figura. El objeto a una distancia inicial de 80 cm se desplaza 10 cm comprimiendo el muelle y luego, se suelta. Calcular:

• La velocidad del objeto al final del plano inclinado.
• La distancia entre la base del edificio y el lugar de impacto del objeto en el suelo.

Solución:

Conservación de la energía

$\frac{1}{2}750\cdot {0.1}^2+0.4\cdot 9.8\cdot 0.9\cdot \sin 30=\frac{1}{2}0.4\cdot v_0^2{v}_0=5.25\text{m/s}$

Tiro parabólico

$\{\begin{array}{c}{a}_x=0\\ a_y=-9.8\end{array}\{\begin{array}{c}{v}_x=v_0\cdot \cos 30\\ v_y=-v_0\sin 30+(-9.8)t\end{array}\{\begin{array}{c}x=v_0\cdot \cos 30\cdot t\\ y=-v_0\sin 30\cdot t+\frac{1}{2}(-9.8)t^2\end{array}$

Punto de impacto: y=-15 m, t=1.5 s, x=6.83 m

2.Una cuerpo de masa m=4 kg, está sujeto por una cuerda de longitud R=2 m, gira en el plano inclinado 30º de la figura.

• Dibuja las fuerzas sobre el cuerpo en la posición B (más alta) y en la posición A (más baja)
• Calcula la velocidad mínima que debe llevar el cuerpo en la posición más alta B, para que pueda describir la trayectoria circular.
• Calcula la velocidad con la que debe partir de A para que llegue a B, y describa la trayectoria circular.
• Calcula la tensión de la cuerda cuando parte de A y cuando llega a B.
  

Solución:

En las figuras se muestran las fuerzas sobre el cuerpo en la posición B (más alta) y en la posición A (más baja)

Descomponemos el peso y aplicamos la dinámica del movimiento circular uniforme

$T_B+4\cdot 9.8\cdot \sin 30=4\frac{v_B^2}{2}{T}_A-4\cdot 9.8\cdot \sin 30=4\frac{v_A^2}{2}$

La velocidad mínima en B se obtiene cuando T_B=0 , v_B=3.13 m/s

Principio de conservación de la energía

$\frac{1}{2}4v_A^2=\frac{1}{2}4v_B^2+4\cdot 9.8\cdot 2v_A=7.0\text{m/s}{T}_A=117.6\text{N}$

3.Un péndulo simple está formado por un hilo inextensible y de masa despreciable de 0.5 m de longitud del que cuelga una masa puntual de 2 kg. Si se separa de la posición de equilibrio 10º y se suelta, calcular la tensión del hilo cuando el péndulo pasa de nuevo por la posición vertical. Tomar g=9.8 m/s².

Solución:

Aplicamos el principio de conservación de la energía y a continuación, la dinámica del movimiento circular uniforme

$\begin{array}{c}mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}h=r-r\cdot \cos \theta \\ T-mg=m\frac{v^2}{r}\end{array}$

Con los datos: r=0.5 m, m=2 kg, θ=10º, obtenemos v=0.38 m/s, T=20.2 N